IDENTITAS TRIGONOMETRI

BAB I

PENDAHULUAN

A.  Latar Belakang

Trigonometri Dasar dan Pembelajarannya yang mencakup Pengertian Sudut,Ukuran Sudut, Mendefinisikan sinus, kosinus dan tangen, Penguasaan   Keterampilan   Dasar  Perbandingan   Trigonometri,   dan PerluasanNilai Perbandingan Trigonometri,dilanjutkan dengan Pembelajaran  Nilai  Perbandingan  Trigonometri  untuk   Sudut-sudut Istimewa dan Rumus Perbandingan  Trigonometri Sudut yang  Berelasi serta Hubungan Perbandingan Trigonometri suatu Sudut. Mengenai fungsi trigonometri yaitu meliputi trigonometri dasar, identitas trigonometri serta rumus-rumus dalam trigonometri telah kita pelajari bersama sebelumnya. Pembelajaran Identitas, yang memuat Pengertian  dan Landasan dasar dalam membuktikan kebenaran identitas.

B.  Rumusan Masalah

1.    Bagaimana bentuk persamaan trigonometri sederhana?

2.    Apakah pengertian dari trigonometri?

3.    Bagaimana membuktikan identitas trigonometri?

4.    Bagaimana pembuktian identitas trigonometri?

C.  TujuanPenulisan

1.    Untuk mengetahui bentuk persamaan trigonometri sederhana

2.    Untuk mengetahui pengertian trigonometri

3.    Untuk mengetahui langkah – langkah pembuktian identitas trigonometri

4.    Untuk melakukan pembuktian identitas trigonometri

BAB II

PEMBAHASAN

A.  Persamaan Trigonometri Sederhana

Sifat-sifat persamaan trigonometri sederhana untuk sinus, cosinus, dan tangen adalah sebagai berikut :

1. Bentuk sin x = sin p

Bentuk di atas mempunyai dua macam penyelesaian, yaitu :

 

2. Bentuk cos x = cos p

Bentuk di atas mempunyai dua macam penyelesaian, yaitu :

3. Bentuk tan x = cos p

Bentuk di atas mempunyai penyelesaian sebagai berikut :

Contoh:

Tentukan himpunan penyelesaian dari sin 2x = ½ jika 0^∘ ≤ x ≤ 360^∘ !Penyelesaian

:

Persamaan (1)

• Jika k = 0 maka x₁ = 15^o
• Jika k = 1 maka x₂ = 195^o

Persamaan (2)

• Jika k = 0 maka x₃ = 75^o
• Jika k = 1 maka x₄ = 255^o

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {15^o, 75^o, 195^o, 255^o}.

Contoh:

Tentukan himpunan penyelesaian dari tan (4x – π) = 1 !

Penyelesaian :

• Jika k = 0 maka x₁ = 56,25^∘
• Jika k = 1 maka x₂ = 101,25^∘
• Jika k = 2 maka x₃ = 146,25^∘
• Jika k = 3 maka x₄ = 191,25^∘
• Jika k = 4 maka x₅ = 236,25^∘
• Jika k = 5 maka x₆ = 281,25^∘
• Jika k = 6 maka x₇ = 326,25^∘
• Jika k = 7 maka x₈ = 371,25^∘ = 11,25^∘

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah
{ 11,25^∘ , 56,25^∘ , 101,25^∘ , 146,25^∘ , 191,25^∘ , 236,25^∘ , 281,25^∘ , 326,25^∘ }.

B.  PengertianIdentitasTrigonometri

Identitas  trigonometri  adalah suatu relasi atau kalimat terbuka yang memuat fungsi-fungsi trigonometri dan yang bernilai benar untuk setiap penggantian variabel dengan konstan anggota domain fungsinya. Domain sering tidak dinyatakan secara eksplisit. Jika demikian maka umumnya domain yang dimaksud adalah himpunan bilangan real. Namun dalam trigonometri identitas yang (langsung atau tak langsung) memuat fungsi tangen, kotangen, sekan, dan kosekan domain himpunan bilangan real sering menimbulkan masalah ketakhinggaan. Karena itu,maka meskipun tidak dinyatakan secara eksplisit, maka syarat terjadinya fungsi tersebut  merupakan syarat yang perlu diperhitungkan.

Terdapat dua fungsi trigonometri atau lebih yang walaupun memiliki bentuk berbeda, tetapi grafik fungsinya sama. Sebagai contoh, dua fungsi dan

yang tampaknya berbeda, tetapi kedua fungsi tersebut memiliki grafik fungsi yang dapat digambarkan sebagai berikut.

 

Sehingga kita dapat menyimpulkan bahwa walaupun kedua fungsi tersebut tampak berbeda, tapi sebenarnya kedua fungsi tersebut sama. Hal ini berarti, untuk setiap nilai x,

Persamaan yang terakhir ini disebut sebagai identitas trigonometri, dan akan kita diskusikan pada pembahasan kali ini. Gambar berikut ini mendaftar delapan identitas trigonometri dasar.

Catatan Tiga identitas pertama (dalam kotak warna orange) disebut sebagai identitas kebalikan. Dua identitas selanjutnya (dalam kotak warna hijau) disebut sebagai identitas rasio. Sedangkan, tiga identitas terakhir (dalam kotak berwarna biru) disebut sebagai identitas Pythagoras.

C.   Membuktikan KebenaranIdentitas

Kebenaran suatu relasi atau kalimat terbuka merupakan identitas perlu dibuktikan kebenarannya. Ada tiga pilihan pembuktikan identitas, yaitu menggunakan rumus-rumus atau identitas-identitas yang telah dibuktikan kebenarannya dengan cara substitusi trigonometri dan manipulasi aljabar dengan tujuan:

1.        Mengubah bentuk pada ruas kiri identitas menjadi bentuk seperti pada ruas kanan, atau

2.        Mengubah bentuk pada ruas kanan identitas menjadi bentuk seperti pada ruas kiri.

Satu hal yang harus diingat dalam membuktikan identitas trigonometri adalah kita harus bekerja pada masing-masing ruas secara terpisah. Kita tidak boleh menggunakan sifat-sifat aljabar yang melibatkan kedua ruas identitas—seperti sifat penjumlahan kedua ruas persamaan. Karena, untuk melakukan hal tersebut, kita harus menganggap bahwa kedua ruas sudah sama, yang merupakan suatu hal yang akan kita buktikan. Intinya, kita tidak boleh memperlakukan masalah sebagai suatu persamaan.Sebagaicontohkitaambil dua identitas Pythagoras terakhir dapat diturunkan dari identitas sebelumnya, yaitu cos² θ + sin² θ = 1, dengan membagi kedua ruasnya secara berturut-turut dengan cos² θ dan sin² θ. Sebagai contoh, dengan membagi kedua ruas cos² θ + sin² θ = 1 dengan cos² θ, kita mendapatkan

Untuk menurunkan identitas Pythagoras terakhir, kita harus membagi kedua ruas cos² θ + sin² θ = 1 dengan sin² θ untuk mendapatkan 1 + cot² θ = csc² θ.

Petunjuk untuk Membuktikan Identitas

1.        Biasanya akan lebih mudah jika kita memanipulasi ruas persamaan yang lebih rumit terlebih dahulu.

2.        Carilah bentuk yang dapat disubstitusi dengan bentuk trigonometri yang ada dalam identitas trigonometri, sehingga didapatkan bentuk yang lebih sederhana.

3.        Perhatikan operasi-operasi aljabar, seperti penjumlahan pecahan, sifat distributif, atau pemfaktoran, yang mungkin dapat menyederhanakan ruas yang kita manipulasi, atau minimal dapat membimbing kita kepada bentuk yang dapat disederhanakan.

4.        Jika kita tidak tahu apa yang harus dilakukan, ubahlah semua bentuk trigonometri menjadi bentuk sinus dan cosinus. Mungkin hal tersebut bisa membantu.

5.        Selalu perhatikan ruas persamaan yang tidak kita manipulasi untuk memastikan langkah-langkah yang kita lakukan menuju bentuk dalam ruas tersebut

Selain petunjuk-petunjuk di atas, cara terbaik untuk menjadi mahir dalam membuktikan identitas trigonometri adalah dengan banyak latihan. Semakin banyak identitas trigonometri yang telah kita buktikan, maka kita akan semakin ahli dan percaya diri dalam membuktikan identitas trigonometri lainnya. Kita tidak boleh takut untuk berhenti kemudian memulai kembali jika langkah-langkah kita menemui jalan buntu. Sebagian besar identitas trigonometri dapat dibuktikan dengan menggunakan berbagai macam pembuktian. Beberapa pembuktian mungkin lebih panjang dari pembuktian yang lain.

D.  PembuktianIdentitasTrigonometri

a.    Buktikan bahwa sin θ cot θ = cos θ.

Pembahasan Untuk membuktikan identitas ini, kita ubah bentuk ruas kiri menjadi bentuk ruas kanan.

 

Pada contoh ini, kita mengubah bentuk pada ruas kiri menjadi bentuk yang ada pada ruas kanan. Ingat, kita membuktikan identitas dengan mengubah bentuk yang satu menjadi bentuk yang lain.

b.    Buktikan bahwa tan x + cos x = sin x (sec x + cot x).

Pembahasan Kita dapat memulainya dengan menerapkan sifat distributif pada ruas kanan untuk mengalikan suku-suku yang ada dalam kurung dengan sin x. Kemudian kita dapat mengubah ruas kanan menjadi bentuk yang ekuivalen serta memuat tan x dan cos x.

 

Dalam kasus ini, kita mengubah ruas kanan menjadi ruas kiri.

c.     Buktikan bahwa: 

 

Pembuktian

Penyelesaian ruas kiri:

Terbukti ruas kiri = ruas kanan

d.    Buktikanbahwa

sin2α +sin2αcos2α + cos4α =1

Cara I

Seperti dikemukakan pada langkah pemecahan masalahguru dapat memberikancontoh,bahwa:

1.    Langkah pertama adalah memahami masalah. Jelas bahwa masalahnya adalah masalah pembuktian, yaitu bahwa ruas kiri harus sama dengan ruaskanan. Masalah ini memuat keadaan ruas kiri lebih kompleks daripada ruaskanan.Jadi jika harus membuktikan maka kiranya akan lebih mudah jika dari ruas kiri dibuktikan sama dengan ruas kanan.

2.    Merancang rencana bentuk ruas kiri adalah sin2α+sin2αcos2α+cos4α yang harus dibuktikan sama dengan 1. Karena tujuannya adalah ”1”, sedangkan ”1” dalam trigonometri muncul dalam rumus sin2α+cos2α=1, maka perlu dimunculkan adanya bentuk sin2α+cos2α. Hal ini dapat muncul jika dua suku terakhir dari ruas kiri difaktorkan. Jika dua suku terakhir difaktorkan diperoleh:

sin2α+ sin2αcos2α+ cos4α= sin2α+ (sin2α+ cos2α)cos2α

3.    Melaksanakan rencana

Bukti:            Ruaskiri:         sin2α+ sin2αcos2α+ cos4α

=         sin2α+ (sin2α+ cos2α)cos2α

(cara1)            =         sin2α+ (1)cos2α

=         sin2α+ cos2α

=         1 (= ruas kanan(terbukti))

4.    Memeriksa kembali dalam hal ini pemeriksaan dilakukan hanya dalam hal pemeriksaan kembali langkah demi langkahnya.

Cara II

1.    Jika strategi awalnya adalah penyederhanaan dengan pemfaktoran, maka dengan memfaktorkan dua suku pertamanya diperoleh:

sin2α+ sin2αcos2α+ cos4α= sin2α(1+ cos2α)+ cos4α

Berdasarkan tujuan yang hendak dicapai, yaitu ruas kanan adalah 1, maka 1. Dalam trigonometri muncul antara lain dari    rumus sin2  α+  cos2α atau secara aljabar dapat muncul dari  perkalian bentuk (1−x)(1+x). Hal terakhir ‘terpikir’ karena adanya bentuk (1  +  cos2α)  yang  jika  dikalikan  dengan  1  −  cos2α   (dari sin2α= 1 −cos2α) akan menghasilkan 1 −cos4α, ada unsur 1 sesuai tujuan.

2.    Dari strategi di atas maka langkah pembuktiannya sebagai berikut:  Bukti:

Ruas kiri:

Sinα²+ sin2αcos2α+ cos4α

= sin2α(1+ cos2α)+ cos4α

=  (1−cos2α) (1+ cos2α)+ cos4α

=  (1−cos4α)+ cos4α

= 1                   

=  ruas kanan (terbukti)

Cara III

1.    Jika strategi awalnya adalah penyederhanaan dari suku berderajat tinggi, maka diperoleh:

Bentuk ruas kiri diubah menjadi sin2α+sin2αcos2α+cos2αcos2α yang harus dibuktikan sama dengan 1. Karena tujuannya adalah ”1”, sedangkan ”1” dalam trigonometri muncul dalam rumus sin2α+cos2α=1, maka perlu dimunculkan adanya bentuk sin2α+cos2α, atau bagian-bagiannya. Hal ini dapat muncul jika ruas kiri difaktorkan sehingga

sin2α+sin2αcos2α+cos2αcos2α dan dengan manipulasi lebih lanjut ruas kiri menjadi = sin2α(1+ cos2α)+ cos2α(1−sin2α) Dengan menjabarkan lebih lanjut hasilnya = 1.

2.    Dari strategi di atas maka langkah pembuktiannya sebagai berikut: Bukti: Ruas kiri:

sin2α+ sin2αcos2α+ cos4α

=  sin2α+ sin2αcos2α+ cos2αcos2α

=   sin2α(1+ cos2α)+ cos2α(1−sin2α)

=  sin2α+ sin2αcos2α+ cos2α−cos2αsin2α

= sin2α+  cos2α

= 1 ( sama dengan ruas kanan / terbukti)

BAB III

PENUTUP

A.  Kesimpulan

1.    Sifat-sifat persamaan trigonometri sederhana untuk sinus, cosinus, dan tangen adalah sebagai berikut :

Bentuk sin x = sin p

Bentuk cos x = cos p

Bentuk tan x = cos p

2.    Persamaan identitas trigonometri yang paling sering digunakan adalah sebagai berikut :

cos² x + sin² x = 1

1 + tan² x = sec² x

1 + cot² x = cosec² x

B.  Latihan

Buktikan identitas-identitas trigonometri dibawah ini !

DAFTAR PUSTAKA

https://www.academia.edu/7559251/materi_persamaan_trigonometri diakses 20 Januari 2016

https://yos3prens.wordpress.com/2015/02/14/identitas-trigonometri/diakses 20 Januari 2016

http://rumus-matematika.com/persamaan-dan-pertidaksamaan-trigonometri/diakses 20 Januari 2016

http://rumus-kimia.com/sifat-sifat-persamaan-trigonometri/diakses 20 Januari 2016

https://aimprof08.wordpress.com/2012/11/19/garis-berat-pada-segitiga/diakses 20 Januari 2016